[Algebra] Equation, Function 정리

 항이 여러 개 인 식을 다항식이라고 한다.

 

Notation

다항식을 $ f(x) = \textit{a}_{n} \textit{x}^\textit{n} + \textit{a}_{n-1} \textit{x}^{n-1} + \dots + \textit{a}_{1} \textit{x} + \textit{a}_{0}, ( \textit{a}_{n} \neq 0 ) $ 라고 둘 때, $ deg(f) = n $ 라고 하고, 다항식의 차수라고 부르고, $\textit{a}_{n}, \textit{a}_{n-1}, \dots , \textit{a}_{1}, \textit{a}_{0} $ 을 다항식의 계수라고 한다.

 

Polynomial Division Theorem (다항식 장제법, 조립제법)

 $deg(f) ≥ deg(g)$ 인 다항식 $f(x)$ 와 $g(x)$ 에 대해 $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, $deg(r) < deg(g)$ 를 만족하는 다항식 $q(x)$ 와 $r(x)$ 가 유일하게 존재한다. 이 때, $q(x)$를 몫, $r(x)$를 나머지라고 부른다.

다항식에 대해서 내림차순으로 정리 후 나눗셈을 할 수 있다.

먼저 존재함을 보이자.

다항식 $ f(x) = \textit{a}_{n} \textit{x}^\textit{n} + \textit{a}_{n-1} \textit{x}^{n-1} + \dots + \textit{a}_{1} \textit{x} + \textit{a}_{0}, ( \textit{a}_{n} \neq 0 ) $ 가 최소 하나의 근 k를 가진다고 하자. 그렇다면 f(k) = 0 이고, $ f(x) - f(k) $ 는 인수 (x - k) 를 가지게 되고, f(x) = (x - k) q(x) 로 나타내어진다. 이를 인수 정리라고 한다. 이를 이용하여, k개의 근을 가질 때도 f(x) = (x-a_k)(x-a_(k-1)) ... q(x)로 나타내어질 수 있다.

인수들의 곱을 g(x) 라고 두면 deg g 보다 낮은 차수의 임의의 r(x)를 양변에 더해준다면, 임의의 f(x)에 대해 다음이 성립한다.
f(x) = (x-a_k)(x-a_(k-1)) ... q(x) + r(x)

이제 유일함을 증명하자.
귀류법을 사용하여 f(x) 를 g(x) 로 나눴을 때, 몫이 q1(x) 일 때 r1(x)로, 몫이 q2(x) 일 때 r2(x) 로 나온다고 하자. $f(x) = g(x)q1(x) + r1(x), f(x) = g(x)q2(x) + r2(x)$ 를 연립하면 r1(x) - r2(x) = g(x) (q2(x) - q1(x)) 가 된다. q2와 q1은 같지 않으므로 등식의 성질에 의해 $\frac{r1(x) - r2(x)}{q2(x) - q1(x)} = g(x)$이다. 이를 원래의 식에 대입하면, $f(x) = \frac{q_{1}(x)(r_{1}(x) - r_{2}(x))}{(q_{2}(x) - q_{1}(x)} + r_{1}(x)\\f(x) = \frac{q_{2}(x)(r_{1}(x) - r_{2}(x))}{(q_{2}(x) - q_{1}(x)} + r_{2}(x)$ 이고 f(x)가 서로 같기 때문에 같다고 두고 정리하면 $(q_{1}(x) - q_{2}(x))(r_{1}(x) - r_{2}(x)) = 0$ 이 된다. 따라서 모순이며, r_1 과 r_2는 같아야 하고, 그때 q_1, q_2도 같아야 함이 증명된다.

 

Fundamental Theorem of Algebra

n차 다항식은 복소수근을 포함하여 n개의 근을 가진다.

복소수 쪽에서 증명하기에 생략

 

Viete's Theorem

n차 방정식 $a_{n}\textit{x}^{n} + a_{n-1}\textit{x}^{n-1} + \dots + a_{1}\textit{x} + a_{0} = 0$ 의 n개의 근을 $x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}$ 이라고 하면, 다음이 성립
$$x_{1} + x_{2} + ... + x_{n} = -\frac{a_{n-1}}{a_{n}}$$
$$x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + ... + x_{n-1}x_{n} = -\frac{a_{n-2}}{a_{n}}$$
$$\dots$$
$$x_{1}x_{2}...x_{n} = (-1)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}$$

 

Problems

추후에 추가