1.2 확률의 성질

 𝑆 의 부분집합 𝐴 를 사상(event, set 확률론에서 집합과도 같다. 집합 대수 algebra of sets를 보자.)이라 하고, 부분집합 A 내의 요소가 실험의 결과로 나온다면 A가 발생했다고 말한다. 이러한 사상에 대한 용어들과 대수들을 간단하게만 살펴보자.

집합의 연산

• ∅ 는 공집합(null or empty set)을 나타낸다.
• 𝐴 ⊂ 𝐵 는 𝐴 가 𝐵 의 부분집합(subset)이다.
• 𝐴 ∪ 𝐵 는 𝐴 와 𝐵 의 합집합(union)이다.
• 𝐴 ∩ 𝐵 는 𝐴 와 𝐵 의 공통집합(intersection)이다.
• 𝐴ᶜ 또는 𝐴′는 𝐴 의 여집합(complement)이다.

 

상호 배반, 포괄적

• 𝐴1, 𝐴2, ..., 𝐴k가 서로서로 공통집합이 ∅ ⇒ 𝐴1, 𝐴2, ..., 𝐴k은 상호배반적 사상(mutually exclusive event)
• 𝐴1, 𝐴2, ..., 𝐴k의 합집합이 𝑆 ⇒ 𝐴1, 𝐴2, ..., 𝐴k는 포괄적 사상(exhaustive event)
• 위 둘을 합치면 집합론에서의 용어로 𝑆 를 분할하는 𝐴1, 𝐴2, ..., 𝐴k 들을 상호 배반적이며 포괄적(mutually exclusive and exhaustive)이라고 한다.

 

확률의 공리

 확률(probability)이란 표본 공간의 사상 𝐴 의 확률인 𝑃(𝐴)를 지정하는 실수값 집합함수 𝑃이며, 다음 공리를 따른다.

1. 𝑃(𝐴) ≥ 0
2. 𝑃(𝑆) = 1
3. 사상 𝐴1, 𝐴2, ... 가 상호배반적이면, 양의 정수 𝑘에 대해 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ... ∪ 𝐴k) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + ... + 𝑃(𝐴k)이며, 사상의 개수가 무한이고 셀 수 있는 경우에도 성립한다.

 

1.2-1
카드 1벌에서 임의의 카드 한 장을 추출한다. 표본공간 𝑆는 52장의 카드 모임이다. 이들 각각의 확률은 equally likely를 갖는다고 했을때, 사상들은 𝐴 = { 𝑥 : 𝑥가 Jack, Queen, 혹은 King }, 𝐵 = { 𝑥 : 𝑥가 9, 10 혹은 Jack 이며 붉은색}, 𝐶 = { 𝑥 : 𝑥가 Club }, 𝐷 = { 𝑥 : 𝑥가 Diamond, Heart, 혹은 Spade}로 정의된다. 다음을 구하여라.
a) 𝑃(𝐴) = 3*4/52 = 3/13
b) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1/52
c) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 5/13
d) 𝑃(𝐶 ∪ 𝐷) = 1
e) 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷) = 0

1.2-2
콩을 심는 밭에 각 고랑 당 3개의 씨를 뿌렸을때, i개의 씨가 싹트는 것을 event 𝐴_𝑖(𝑖=0, 1, 2, 3) 라 하고, 𝑃(𝐴_0) = 1/64, 𝑃(𝐴_1) = 9/64, 𝑃(𝐴_2) = 27/64라고 할때 𝑃(𝐴_3)은 얼마인가?
𝑠𝑜𝑙'𝑛) 𝐴_𝑖 는 mutually exclusive and exhaustive하다. 따라서 27/64이다.

1.2-3
8개의 면을 가진 공평한 주사위를 던질 때, 𝐴 = {2, 4, 6, 8}, 𝐵 = {3, 6}, 𝐶 = {2, 5, 7}, 𝐷 = {1, 3, 5, 7}이라 하자. 다음을 구하여라
a)
i) 𝑃(𝐴) = 1/2
ii) 𝑃(𝐵) = 1/4
iii) 𝑃(𝐶) = 3/8
iv) 𝑃(𝐷) = 1/2
b)
i) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1/8
ii) 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0
iii) 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷) = 1/4
c)
i) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1/2 + 1/4 - 1/8 = 1/4
ii) 𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) = 1/4 + 3/8 - 0 = 5/8
iii) 𝑃(𝐶 ∪ 𝐷) = 3/8 + 1/2 - 1/4 = 5/8

1.2-4
𝑆 = 𝐴 ∪ 𝐵 라면, 𝑃(𝐴) = 0.7, 𝑃(𝐵) =0.9 일 때, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)을 구해라.
𝑠𝑜𝑙'𝑛) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = -𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) + 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = -1 + 0.7 + 0.9 = 0.6

1.2-5
공평한 주사위를 세번 던지는 실험에서 𝐴_1 = {첫 번째가 1 또는 2}, 𝐴_2 = {두 번째가 3 또는 4}, 𝐴_3 = {세 번째가 5 또는 6}이라 하고, 𝑃( 𝐴_𝑖 ) = 1/3, 𝑖 =1, 2, 3
𝑃( 𝐴_𝑖 ∩ 𝐴_ 𝑗 ) = 1/3^2, 𝑖 ≠ 𝑗
𝑃( 𝐴_1 ∩ 𝐴_2 ∩ 𝐴_3 ) = 1/3^3라고 하자. 다음을 구하여라.
a) 𝑃(𝐴_1 ∪ 𝐴_2 ∪ 𝐴_3) = 1 - 1/3 + 1/3^3 = (2*3^2 + 1)/3^3 = 19/27

1.2-6
양의 정수 𝑛 에 대해 𝑃({𝑛}) = (1/2)^𝑛이라 하자. 𝐴 = { 𝑛 : 1 ≤ 𝑛 ≤ 10 }, 𝐵 = { 𝑛 : 1 ≤ 𝑛 ≤ 20 }, 𝐶 = { 𝑛 : 11 ≤ 𝑛 ≤ 20}이라 할 때, 다음을 구하여라.
a) 𝑃(𝐴) = ∑(1/2^n) (from 1 to 10) = (1/2)/(1 - 1/2^11)
b) 𝑃(𝐵) = ∑(1/2^n) (from 1 to 20) = (1/2)/(1 - 1/2^21)
c) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐵) = (1/2)/(1 - 1/2^21)
d) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) = (1/2)/(1 - 1/2^11)
e) 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐵 - 𝐴) = (1/2)/(1 - 1/2^21) - (1/2)/(1 - 1/2^11)
f) 𝑃(𝐵ᶜ) = 1 - 𝑃(𝐵) = 1 - (1/2)/(1 - 1/2^21)

1.2-7
1, 2, ..., 36, 0, 00 의 슬롯을 갖는 룰렛에서 0, 00은 초록색, 남은 슬롯들의 반은 빨강, 나머지는 검정이다. 또한 반은 홀수, 반은 짝수이고, 0과 00은 어느 쪽도 아니다. 이때 슬롯에서 숫자가 뜰 확률이 equally likely 할 때, 다음을 구하여라.
a) 표본공간 𝑆 를 정의해라.
𝑆 = {1, 2, 3, ..., 36, 0, 00}

b) 𝐴 = {0, 00} 일 때, 𝑃(𝐴)를 구하여라.
𝑠𝑜𝑙'𝑛) 2/38 = 1/19

c) 𝐵 = {14, 15, 17, 18} 일 때, 𝑃(𝐵)를 구하여라.
𝑠𝑜𝑙'𝑛) 4/38 = 2/19

d) 𝐶 = {홀수} 일 때, 𝑃(𝐶)를 구하여라.
𝑠𝑜𝑙'𝑛) 18/38 = 9/19

1.2-8
직선 위의 한 점을 임의로 선택하여 직선을 두 부분으로 나누기로 한다. 둘 중 보다 큰 부분이 보다 작은 부분의 최소 두 배일 사상의 확률을 정하여라.
𝑠𝑜𝑙'𝑛) 최소 두 배 이므로 다른 말로는 두 배보다 큰 경우를 말하는 것이다.
𝑆 = [0, 1]으로 두고, 사상 𝐴를 [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]으로 두면, 𝑃(𝐴) = 2/3 임을 알 수 있다.

1.2-9
𝐴1, 𝐴2, ..., 𝐴𝑚들은 서로 배반적이며 포괄적인 사상이다.
a) 𝑃(𝐴1) = 𝑃(𝐴2) = ... = 𝑃(𝐴𝑚) 이면 𝑃(𝐴_𝑖) = 1/𝑚, 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑚 임을 보여라.
𝑝𝑓) 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ... ∪ 𝐴𝑚) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + ... + 𝑃(𝐴𝑚) = 1 이어야 하고, 모든 항의 값을 k로 둔다면, 𝑚k = 1이고, k = 1/𝑚이 된다.
b) ℎ < 𝑚 이고 a)가 성립할 때, 𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ... ∪ 𝐴ℎ 이면, 𝑃(𝐴) = ℎ/𝑚임을 보여라.
𝑝𝑓) a)에 의해, 𝐴에서 합집합을 한 집합들의 각 집합함수의 상이 1/𝑚 이므로 해당 확률이 h개 있고 mutually exclusive하기에 ℎ/𝑚은 자명하다.