1. 실수의 성질과 수열의 극한

본론으로 들어가기 전에 우리가 놀고 있는 놀이터인 실수체에 대해 먼저 살펴보자.

1.1 실수의 연산과 순서

체(Field)

1. Addictive Associative - ∀ a, b, c ∈ ℝ, a + (b+c) = (a+b) + c
2. Addictive Identity Element - ∀ a ∈ ℝ, ∃! e ∈ ℝ, a+e = e+a = a
3. Addictive Inverse Element- ∀ a ∈ ℝ, ∃! e ∈ ℝ, a+x = x+a = 0
4. Addictive Commutative - ∀ a, b ∈ ℝ, a+b = b+a
5. Multiplicative Associative - ∀ a, b, c ∈ ℝ, (ab)c = a(bc)
6. Multiplicative Identity Element - ∀ a ∈ ℝ, ∃! 1 ∈ ℝ, a*1 = 1*a = a
7. Multiplicative Inverse Element - ∀ a ∈ ℝ, ∃! e ∈ ℝ, e ⋅ a = a ⋅ e = 1
8. Multiplicative Commutative - ∀ a, b ∈ ℝ, ab = ba
9. Distributive - ∀ a, b, c ∈ ℝ, a(b+c) = ab+ac

 어떤 집합 F에 대해 덧셈과 곱셈 두가지 연산에 대한 위의 성질들을 만족하면 Field라고 부른다. 앞으로 거의 모든 영소문자들을 실수라고 따로 명시하지 않고 적겠다.

a, b, c에 대해 다음이 성립함을 보여라.

1. -(-a) = a 
p.f) 0 = -a + a = -(-a+a) + (-a+a) = -(-a+a) + 0 = -(-a) - a = 0 ⇒ a = -(-a)

2. a ≠ 0 ⇒ (a^(-1))^(-1) = a
p.f) a ≠ 0
⇒  ∃! e = a^(-1) ∈ ℝ, e ⋅ a = 1
⇒ ∃! e^(-1) ∈ ℝ, e^(-1) ⋅ e = 1
⇒  e^(-1) ⋅ e ⋅ a = e^(-1) = 1 ⋅ a = a
⇒  (a^(-1))^(-1) = a

3. ab = 0 ⇔ (a=0) ∨ (b=0)
p.f)
ab = 0
⇒ ab + a = a
⇒ a(b+1) = a
⇒ ∃! 1(=b+1) ∈ ℝ, a ⋅ 1 = a
⇒ b = 0
WLOG, a = 0
∴ ab = 0 ⇒ (a=0) ∨ (b=0)
(a=0) ∨ (b=0)
⇒ a ⋅ b = 0 ⋅ b
⇒ a ⋅ b = 0
∴ ab = 0 ⇔ (a=0) ∨ (b=0)

4. a+b = a+c ⇒ b=c
p.f) a+b = a+c ⇒ a+(-a)+b = a+(-a)+c ⇒ b=c

5. (a ≠ 0) ∧ (ab = ac) ⇒ b = c
p.f) Left proposition
⇒ ab ⋅ a^(-1) = ac ⋅ a^(-1)
⇒ a ⋅ a^(-1) ⋅ b = a ⋅ a^(-1) ⋅ c
⇒ b = c

6. (-a)b = -(ab) = a(-b)
p.f) 0 = (a-a) ⋅ b = ab + (-a)b = a(b - b) = ab + a(-b)
⇒ -(ab) = (-a)b = a(-b)

 

집합에 대한 -기호를 다음과 같이 정의하자.
Given set S ⊂ ℝ ,
-S = {-a | a ∈ S} = {-a : a ∈ S}

 

순서체(Ordered Field)

 체에서 다음 성질을 만족하는 체를 순서체라고 정의한다. 여기선 "실수체"만 다룬다.

P(≠ ∅) ⊂ ℝ 에 대해

1. ∀ a, b ∈ P, (a+b ∈ P) ∧ (ab ∈ P)
2. ℝ = P ∪ {0} ∪ -P
3. sets P, {0}, -P are disjoint set repectively, that is P ∩ {0} = ∅ = -P ∩ {0} = P ∩ -P

을 만족하면 부분집합 P를 "가지는" 체(Field) (여기선 ℝ을 말함) 를 순서체(Ordered Field)라고 하고, P의 원소를 "양수"라고 정의한다.

 

a, b, c ∈ ℝ 에 대해 다음이 성립함을 보이자.

1. (a ≥ b) ∧ (a ≤ b) ⇒ a = b
p.f) Left side
⇒ (a>b) ∨ (a=b) ∧ (a<b) ∨ (a=b)
⇒ ((a>b) ∧ (a<b)) ∨ (a=b)
⇒ a=b

2. (a ≤ b) ∧ (b ≤ c) ⇒ a ≤ c
p.f) (a ≤ b) ∧ (b ≤ c)
⇒ a-b ≤ 0 ∧ 0 ≤ c-b    (∵ ordered field 2)
⇒ a-b ≤ c-b
⇒ a ≤ c

3. a+b < a+c ⇔ b < c
p.f) if a = 0, b < c
if a > 0, a

4. a>0, b<c ⇒ ab < ac
p.f) a > 0 ∧ b < c
⇒ 0 < c - b
⇒ 0 < a(c - b)
⇒ 0 < ac - ab
⇒ ab < ac

5. a^2 ≥ 0, 특히 1 > 0
p.f) ∀c ∈ P, c ∈ P
⇒ c = -(-c) = (-1)⋅(-c) ∈ P     ( ∵ c ∈ P )
⇒ c ⋅ (-1) ⋅ (-c) ∈ P
⇒ ∀ c ∈ P, (-c)^2 ∈ P
⇒ a^2 ≥ 0
and if a=1, 1 > 0
∴ a^2 ≥ 0 ∧ 1 > 0

6. 0 < a < b ⇒ 0 < 1/b < 1/a
p.f) 0 < a < b
⇒ 0 < a < ab
⇒ 0 < ab

0 < a < b ∧ 0 < ab
⇒ 0 < a/ab < b/ab
⇒ 0 < 1/b < 1/a

∴ 0 < a < b ⇒ 0 < 1/b < 1/a

7. a > 0 ∧ b > 0 ⇒ (a^2 < b^2 ⇔ a < b)
p.f) a^2 < b^2
⇒ 0 < b^2 - a^2
⇒ 0 < (a+b)(b-a)      ( ∵ a+b > 0 )
⇒ 0 < b-a

a < b     ( ∵ a > 0 ∧ b > 0 )
⇒ a^2 < ab ∧ ab < b^2
⇒ a^2  < ab < b^2
⇒ a^2 < b^2

∴ a > 0 ∧ b > 0 ⇒ (a^2 < b^2 ⇔ a < b)

 

유한 집합은 순서체가 아님을 보여라.
p.f) 유한 집합이 순서체라고 가정하자. 그렇다면 S = {-1, 0, 2} 이라는 유한 집합은 순서체여야 한다.
하지만, -1, 2 ∈ S 이지만 (-1) + 2 = 1 ∉ S이다. 따라서 순서체의 공리 1에 위배된다.

 

∀ a, b ∈ ℝ, 다음이 성립함을 보여라
1. |a| ≥ 0
p.f) by def. of |a|
if a > 0, |a| = a ∈ P
if a < 0, a ∈ -P ⇒ |a| = -a ∈ P
if a = 0, |a| = 0 ∈ {0}
∴ |a| ∈ P ∪ {0}, |a| ≥ 0

2. |a| = 0 ⇔ a = 0
p.f) by proof of 1.,
|a| ∈ P ⊕ |a| ∈ {0}
∴ |a| = 0 ⇒ a = 0

In complement of the statement,
a = 0 ⇒ |a| = 0 is trivial.
∴ |a| = 0 ⇔ a = 0

3. |ab| = |a| |b|
p.f) if a > 0 ∧ b >0,
|a| |b| = ab = |ab|

if ab < 0,
WLOG, |a| |b| = -(ab)
also, |ab| = -(ab)
⇒  |ab| = |a| |b|

if a < 0 ∧ b < 0,
|a| |b| = (-a) ⋅ (-b) = ab
and |ab| = ab
⇒ |ab| = |a||b|

∴ |ab| = |a||b|

4. b ≥ 0 ⇒ |a| ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b
p.f) |a| ≤ b
⇔ |a| ∈ {0} ∪ (0, b]
⇔ a ∈ [-b, 0) ∪ {0} ∪ (0, b]
⇔  -b ≤ a ≤ b
■

5. ||a| - |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|
p.f) ∀a, b ∈ ℝ, -|a| ≤ a ≤ |a| ∧ -|b| ≤ b ≤ |b|
⇒ -|a| - |b| ≤ a + b ≤ |a| + |b|
⇒ |a+b| ≤ ||a|+|b||

also, |a| - |b| ≤ a - b ≤ |a| + |b|
||a| - |b|| ≤ |a - b| ≤ ||a| + |b|| = |a| + |b|

∴ ||a| - |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|

 

순서체의 임의의 두 원소 a, b에 대해 min, max 값을 다음과 같이 놓을 수 있다.
max{a, b} = (a+b)/2 + |a-b|/2
min{a, b} = (a+b)/2 - |a-b|/2

1.2 완비성 공리

상계 & 하계

실수체 ℝ의 공집합이 아닌 부분집합 S에 대해

∀x∈S, ∃a∈ℝ s.t. x ≤ a

이면, a를 집합 S의 상계라고 한다. 여기서 부등호만 바뀐 것을 S의 하계라고 한다.

 

위로 유계 & 아래로 유계 & 유계 & 최소 상계 & 최대 하계

 위로 유계의 사전적 정의는 S ⊂ ℝ 에 대해 S의 상계 α 가 존재한다면 S는 위로 유계한다고 말하고, S의 모든 상계 β 보다 α 가 크거나 같은 α를 최소 상계라고 하고 상한이라고도 한다. 즉, 위로 유계가 더 작은 범위의 용어이고, 그 안에 최소 상계가 있는 것이다.

1. 위로 유계, 상계 ≔ S⊂ℝ, ∃α ∈ ℝ 𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 ∀s ∈ S, s ≤ α
2. 최소 상계 ≔ ∃α ∈ ℝ, ∀β ∈ ℝ (𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 ∀s∈S, s ≤ β), α ≤ β

아래로 유계와 최대 하계는 그 반대의 경우로 다음과 같다.

1. 아래로 유계, 하계 ≔ S ⊂ ℝ, ∃α ∈ ℝ 𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 ∀s ∈ S, s ≥ α
2. 최대 하계 ≔ ∃α ∈ ℝ, ∀β ∈ ℝ (𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 ∀s ∈ S, s ≥ β), β ≤ α

결국 실수체 위의 부분집합 S에 대해(공집합이 되도 된다) 그 범위를 서술, 묘사하는 것이다. 여기서 유계는 다음과 같다.

• 유계 ≔ S ⊂ ℝ, S가 아래로 유계, 위로 유계
• 유계집합 ≔ 유계하는 집합

모든 실수는 공집합의 상계가 됨을 보여라.
𝑝𝑓) ∅ ⊂ ℝ, ∀e∈ℝ, 𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 ∀s∈∅, s ≤ e
전제가 모순이므로 전체 조건문(implication)은 참이며,
어떤 e를 잡아도 전체 합성 명제는 참이므로 상계의 정의에 의해 ℝ은 ∅의 상계

 

완비성 공리

1. 위로 유계이며 비어 있지 않은 집합은 최소 상계를 가진다.
2. 아래로 유계이며 비어있지 않은 집합은 최대 상계를 가진다.

 위 두 조건은 실수체(ℝ) 와 그 밖의 순서체(ordered field)를 구분짓는 핵심적인 성질 + 미리 규정된 특이한 성질을 가지는 실수의 존재를 주장하는 것.

위 두 명제는 동치임을 보여라.
𝑝𝑓) 1 ⇒ 2
 1이 참이라면 어떤 집합 𝑈 ⊂ ℝ 에 대해 ∀𝑙∈𝑈, ∃𝑙'∈𝑈, 𝑙 ≤ 𝑙' 이다.
이때 𝑈의 하계 집합 𝐿 을 잡고, 𝑙'가 𝐿의 최대하계임을 보이면 된다.
𝐿 ≔ { 𝑢 | 𝑢 ∈ ℝ, ∀𝑙 ∈ 𝑈, 𝑢 ≤ 𝑙 }      ( ∵ 𝑙' = 𝑖𝑛𝑓 𝐿 )
⇒ ∀𝑢 ∈ 𝐿, ∀𝑙 ∈ 𝑈, ∃𝑙', 𝑢 ≤ 𝑙' ≤ 𝑙
⇒ ∀𝑢 ∈ 𝐿, ∃𝑙', 𝑢 ≤ 𝑙'
⇒ 𝑙' = 𝑠𝑢𝑝 𝐿

𝑤𝑖𝑡ℎ𝑜𝑢𝑡 𝑙𝑜𝑠𝑠 𝑜𝑓 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦, contrapositive is 𝑒𝑛𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡𝑜 𝑠ℎ𝑜𝑤 above proof.
■

집합 ℕ 은 위로 유계가 아님을 보여라.
𝑝𝑓) 귀류법을 사용하자.
완비성의 공리에 의해 위로 유계인 집합은 최소 상계를 가짐을 알 수 있다.
최소 상계를 가지므로 해당 원소를 𝑢 로 둔다면, 𝑢-1은 최소 상계가 아니고, 𝑢-1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑢 인 𝑛 ∈ ℕ 이 존재하게 된다. 이때 𝑛+1은 ℕ 의 원소이지만 최소 상계 𝑢 보다 크므로 𝑢 는 최소 상계임에 모순이 생긴다. 따라서 집합 ℕ 은 위로 유계가 아니다.

위 문제를 통해 다음을 알 수 있다.

• ∀𝑎 ∈ ℝ, ∃𝑛 ∈ ℕ , 𝑛 > 𝑎
• ∀𝑎 > 0, ∃𝑛 ∈ ℕ, 0 < 1/𝑛 < 𝑎

즉, 실수에 대해 자연수의 존재를 이끌어낼 수 있다는 것이다.

자연수 n에 대해 A_n  = (-1/n, 2-1/n]이라 하자. ∪A_n, ∩A_n을 구해라.
𝑠𝑜𝑙'𝑛) 𝑏_𝑛 = (-1/n, 0], C_n = (0, 2-1/n] 이라 하자.
𝑖) B_n ⊂ (-1, 0] = B_1 = ∪B_n 인건 당연하다.
위 명제에 의해 실수 1/n에 대해 자연수 n+1이 존재해서 0 < 1/(1+n) < 1/n ≤ 1 이고,
항상 C_n ⊂ C_(n+1) ⊂ (0, 2) 임을 알 수 있다.
따라서, ∪A_n = (-1, 0] ∪ (0, 2) = (-1, 2) 이다.

𝑖𝑖) 모든 실수 α 에 대해 자연수 n이 존재해서 0 < 1/n < α 이다.
이때 실수 1/n에 대해서도 더 작은 1/(n+1)인 것을 잡을 수 있으므로 {0} ⊂ [0, 1/(n+1)) ⊂ [0, 1/n) 이다.
따라서 ∩B_n = {0} 이다. C_1 = (0, 1] ⊂ C_n 임은 당연하다.
따라서 ∩C_n = (0, 1]이고, ∩A_n = {0} ∪ (0,1] = [0, 1]이다.

• 아르키메데스 법칙 - ∀a > 0, ∀b ∈ ℝ, ∃n ∈ ℕ, na > b
• 유리수의 조밀성 - ∀ a, b ∈ ℝ, a < b ⇒ ∃r ∈ ℚ, a < r < b

첫번째는 자연수의 존재, 두번째는 유리수의 존재를 보장한다. 생각해본다면 아르키메데스 법칙은 그냥 이전의 명제에서 파생된 것일 뿐이고, 유리수의 조밀성은 아르키메데스 법칙에서 파생된 것일 뿐이다. 유리수의 조밀성을 증명하자.

𝑝𝑓) 𝑒𝑛𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡𝑜 𝑠ℎ𝑜𝑤 ∀a, b ∈ ℝ, 0 < b-a ⇒ ∃r ∈ ℚ, a < r < b
∃n ∈ ℕ, 0 < 1/n < b-a      ( ∵ m = min{ k | k∈ℕ, k × 1/n > a } )
⇒ (m-1)/n ≤ a < m/n ≤ a + 1/n < b
∴ ∀a, b ∈ ℝ, 0 < b-a ⇒ ∃r ∈ ℚ, a < r < b
■

양수 a > 0 에 대해 b^2 = a 인 양수 b > 0 가 유일하게 존재함을 보여라.
𝑝𝑓) 유일성을 먼저 보이자.
만약 또 다른 양수 c가 존재한다고 가정하자.
c^2 = a = b^2 ⇔ c^2 - b^2 = 0 ⇔ (c-b)(c+b) = 0 ⇔ c=b

존재성을 보이자.
-- 추후 --

  다음은 완비순서체가 본질적으로 하나밖에 없음을 보여주는 정리인데, 즉 완비순서체가 만약 두 개 있으면 이 두 순서체 사이에서는 순서체의 모든 구조를 그대로 보존하는 사상(mapping, linear transform)이 있다는 것.

 양수의 집합이 각각 𝑃_F 와 𝑃_G로 주어진 두 순서체 F 와 G가 완비성공리를 만족할 때,
 bijection 𝑓 : F ↦ G 가 존재하여 다음 두 성질을 만족한다.
가) ∀ a, b ∈ F, (𝑓(a+b) = 𝑓(a) + 𝑓(b)) ∧ (𝑓(ab) = 𝑓(a)𝑓(b))
나) 𝑓(𝑃_F) = 𝑓(𝑃_G)

위의 정리가 보여주는 것은 완비순서체는 bijection으로 연결되어 있다는 것이다. 즉 둘은 이름만 다르지 같은 것이라는 것. 이제 이 정리를 사용하기 위해 +, *의 연산을 정의하도록 하면 끝이다.

1. 순서체 F, G의 곱셈에 대한 항등원 1_F, 1_G를 정의
2. 각 자연수 n에 대해 항등원들을 n번 더한것을 곱셈으로 정의하면
3. 그 결과는 순서공리에 의해 양수임 즉, e ∈ P
4. 유리수 r = m/n이 주어지면 r ⋅ 1_F = (m ⋅ 1_F)(n ⋅ 1_F)^(-1)는 F의 원소
5. x ∈ F, C_x ≔ { r ⋅ 1_G : r ∈ ℚ, r ⋅ 1_F < x } 을 잡고
6. F가 완비순서체이기 때문에 아르키메데스 법칙이 적용되어 n ⋅ 1_F > -x인 n ∈ ℕ 이 있고,
7. (-n) ⋅ 1_F < x를 말하므로 C_x ≠ ∅임
8. 다시 아르키메데스의 법칙을 사용해서 m ⋅ 1_F > x인 m 존재
9. m ⋅ 1_G 는 C_x의 상계
10. G가 완비 순서체 이므로 C_x는 상한을 가짐, 이를 f(x)라고 하면, f: F ↦ G이고,
    𝑓(x) = 𝑠𝑢𝑝{ 𝑟 ⋅ 1_𝐺 ∈ 𝐺 : 𝑟 ∈ ℚ, 𝑟 ⋅ 1_𝐹 < 𝑥 } ∈ 𝐺, 𝑥 ∈ 𝐹
11. 그 역함수는 G를 F로 F를 G로 두고 x를 y로 바꿔준다.
12. 이제 f가 전단사 함수임을 보이기 위해 f와 g가 서로 역함수 관계임을 보이면 끝이다.

 하지만 이러한 bijection은 완비순서체끼리 연결되어 있다는 것이지 결코 존재성을 말하는 것은 아님.

 

실수의 두 부분집합 S, T에 대해 +, ⋅ 연산을 다음과 같이 정의한다.
𝑆 + 𝑇 = { 𝑎 + 𝑏 : 𝑎 ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 },     𝑆𝑇 = { 𝑎𝑏 : 𝑎 ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 }

 

실수의 부분집합 𝑆, 𝑇 에 대해 다음이 성립함을 보여라.
1. 𝑠𝑢𝑝 { 𝑆 + 𝑇 } = 𝑠𝑢𝑝 𝑆 + 𝑠𝑢𝑝 𝑇, 𝑖𝑛𝑓 { 𝑆 + 𝑇 } = 𝑖𝑛𝑓 𝑆 + 𝑖𝑛𝑓 𝑇
𝑝𝑓)
𝑖) Take 𝑠𝑢𝑝 𝑆 = s, 𝑠𝑢𝑝 𝑇 = t,
∀s' ∈ 𝑆, ∀t' ∈ 𝑇, s' ≤ s ∧ t' ≤ t
⇒ s'+t' ≤ s+t' ≤ s+t
⇒ ∀e ∈ 𝑆 + 𝑇, ∃ α( = s + t) ∈ ℝ, e ≤ α
∴ 𝑠 + 𝑡 is upper bound of 𝑆 + 𝑇

𝑖𝑖) 𝑒𝑛𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡𝑜 𝑠ℎ𝑜𝑤 ∀ ϵ > 0, ∃ e ∈ 𝑆 + 𝑇, 𝑠 + 𝑡 ≥ e > 𝑠 + 𝑡 - ϵ
take e = 𝑠 + 𝑡 - ϵ/2, there are no other upper bounds which are small than 𝑠 + 𝑡
∴ 𝑠𝑢𝑝 { 𝑆 + 𝑇 } = 𝑠𝑢𝑝 𝑆 + 𝑠𝑢𝑝 𝑇

𝑤𝑖𝑡ℎ𝑜𝑢𝑡 𝑙𝑜𝑠𝑠 𝑜𝑓 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦  posterior proposition is proving same way
■

2. 𝑆, 𝑇 ⊂ 𝑃 ⇒ (𝑠𝑢𝑝(𝑆𝑇) = (𝑠𝑢𝑝 𝑆)(𝑠𝑢𝑝 𝑇)) ∧ (𝑖𝑛𝑓(𝑆𝑇) = (𝑖𝑛𝑓 𝑆)(𝑖𝑛𝑓 𝑇)) 임을 보여라.
𝑝𝑓)
𝑖) Let 𝑠𝑢𝑝 𝑆 = 𝑠, 𝑠𝑢𝑝 𝑇 = 𝑡,
∀ 𝑠' ∈ 𝑆 , 𝑡' ∈ 𝑇, s't' ≤ st
∴ 𝑠𝑡 is upper bound of set 𝑆𝑇

𝑖𝑖) 𝑒𝑛𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡𝑜 𝑠ℎ𝑜𝑤 ∀ϵ > 0, ∃e ∈ ℝ, 𝑠𝑡 ≥ e > 𝑠𝑡 - ϵ
if we take e = 𝑠𝑡 - ϵ/2, there are no other upper bounds which are small than 𝑠𝑡
∴ 𝑠𝑢𝑝(𝑆𝑇) = (𝑠𝑢𝑝 𝑆)(𝑠𝑢𝑝 𝑇)

𝑤𝑖𝑡ℎ𝑜𝑢𝑡 𝑙𝑜𝑠𝑠 𝑜𝑓 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦  posterior proposition is proving same way
■

 

임의의 실수 부분집합 𝑋 에서 정의된 실함수 𝑓, 𝑔 : 𝑋 ↦ ℝ 에 대해 다음은 자명하다.
𝑠𝑢𝑝 { 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) : 𝑥 ∈ 𝑋 } ≤ 𝑠𝑢𝑝 { 𝑓(𝑥) : 𝑥 ∈ 𝑋 } + 𝑠𝑢𝑝 { 𝑔(𝑥) : 𝑥 ∈ 𝑋 }
반대의 부등호의 경우 구간 [-1, 1] 에서 정의된 함수 𝑓(𝑥) = x, 𝑔(𝑥) = -𝑥를 잡자.
( 둘이 단조증가이거나 아니면 둘이 단조감소이거나여야 한다는 것을 의미 )

 

1.3 수열의 극한

 정의역(Domain)이 자연수인 함수를 수열이라고 하고, 𝑛 ∈ ℕ 에서 함수값이 𝑥_n인 수열을 〈𝑥_n〉 라고 쓴다.

수렴(Convergence)

수열 〈 𝑥_n 〉 이 𝑥 로 수렴한다 ≔ ∀n ∈ ℕ, ∀ϵ > 0, ∃N ∈ ℕ, n ≥ N ⇒ | 𝑥_n - x | < ϵ 이고, 표기로는 𝑙𝑖𝑚 𝑥_n = 𝑥 로 쓴다.

실수열 〈 𝑥_𝑛 〉 이 𝑥로 수렴하면, 수열 〈 |𝑥_𝑛 | 〉도 |𝑥| 로 수렴함을 보여라.
𝑝𝑓) ∀𝑛 ∈ ℕ, ∀ϵ > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, 𝑛 ≤ 𝑁 ⇒ | 𝑥_𝑛 - 𝑥 | ≤ ϵ
⇒ ||𝑥_ 𝑛| - |𝑥|| ≤ | 𝑥_𝑛 - 𝑥 | ≤ ϵ
■

𝑙𝑖𝑚 1/n = 0 임을 보여라.
𝑝𝑓) ∀n ∈ ℕ, ∀ϵ > 0, ∃N ∈ ℕ 𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 n ≥ N ⇒ | 1/n - 0 | ≤ ϵ
을 보여야 한다. 처음 전제를 먼저 생각하고 그 전제를 통해 맨 마지막에 나와야 할 부등식에 도달하기 위해 조작해주자.
n ≥ N
⇒ 0 < 1/n ≤ 1/N     ( ∵ take N = 1/ϵ )
⇒ 0 < 1/n ≤ 1/N = ϵ
⇒ | 1/n - 0 | ≤ ϵ

∴ ∀ ϵ > 0, ∃ N ∈ ℕ 𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 n ≥ N ⇒ | 1/n - 0 | ≤ ϵ 이고, 𝑙𝑖𝑚 1/n = 0이라고 할 수 있다.
■

실수열 〈 𝑥_n 〉 이 𝑥 ∈ ℝ 과 𝑦 ∈ ℝ 로 수렴하면 𝑥 = 𝑦 임을 보여라.
𝑝𝑓) 귀류법을 사용하자.
 ∀n ∈ ℕ, ∀ϵ > 0, ∃N ∈ ℕ 𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 n ≥ N
⇒ | 𝑥_n - x | ≤ ϵ ∧ | 𝑥_n - 𝑦 | ≤ ϵ
⇒ | x_n - (x+y)/2 | ≤ ϵ
이때 (x+y)/2로 수렴한다. 명제의 결과에서 같지 않다는 것에 모순이다.
따라서, 원래 명제가 참이 된다.
■


실수열 〈 𝑥_𝑛 〉 is bounded ⇔ ∃ 𝑀 ∈ ℝ, |𝑥_𝑛| ≤ 𝑀 을 보여라.
𝑝𝑓) ∃ 𝑠𝑢𝑝 〈 𝑥_𝑛 〉 ∧ ∃ 𝑖𝑛𝑓 〈 𝑥_𝑛 〉 ⇒ ∀ n ∈ ℕ, 𝑖𝑛𝑓 〈 𝑥_𝑛 〉 ≤ 𝑥_𝑛 ≤ 𝑠𝑢𝑝 〈 𝑥_𝑛 〉
⇒ | 𝑥_𝑛 | ≤ 𝑚𝑎𝑥 { 𝑖𝑛𝑓 〈 𝑥_𝑛 〉 , 𝑠𝑢𝑝 〈 𝑥_𝑛 〉 }
∴ 〈 𝑥_𝑛 〉 is bounded ⇒ ∃ 𝑀 ( = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑖𝑛𝑓 〈 𝑥_𝑛 〉, 𝑠𝑢𝑝 〈 𝑥_𝑛 〉 } ), | 𝑥_𝑛 | ≤ 𝑀

∃ 𝑀 ∈ ℝ, | 𝑥_𝑛 |  ≤ 𝑀 ⇒ - 𝑀 ≤ 𝑥_𝑛 ≤ 𝑀
⇒ 〈𝑥_𝑛〉 has upper bounded and lower bounded
∴ by Completeness Axiom, implication is true
■

수렴하는 수열은 bounded임을 증명하라.
𝑝𝑓) 𝑒𝑛𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡𝑜 𝑠ℎ𝑜𝑤 𝑙𝑖𝑚 𝑥_𝑛 = 𝑥 ⇒ 〈 𝑥_𝑛 〉 is bounded
∀ 𝑛 ∈ ℕ, ∀ ϵ 〉 0, ∃ 𝑁 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ | 𝑥_𝑛 - 𝑥 | ≤ ϵ
⇒ ∃ 𝑁1 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑁1 ⇒ | 𝑥_𝑛 - 𝑥 | ≤ 1
⇒ { 𝑥_𝑛 | n ≥ 𝑁1 } ⊂ [ 𝑥 - 1, 𝑥 + 1 ]
∴  { 𝑥_𝑛 | n ≥ 𝑁1 } is bounded

Now, 𝑒𝑛𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡𝑜 𝑠ℎ𝑜𝑤 { 𝑥_𝑛 | 𝑛 < 𝑁1 } is bounded
This set is finite set, and ≠ ∅ ⇒ { 𝑥_𝑛 | 𝑛 < 𝑁1 } is bounded
∴  { 𝑥_𝑛 | 𝑛 < 𝑁1 } is bounded
■

〈 (-1)^n 〉 은 수렴하지 않음을 보여라.
𝑝𝑓) 𝑒𝑛𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡𝑜 𝑠ℎ𝑜𝑤
∀𝑎 ∈ ℝ, ~ ( ∀ 𝑛 ∈ ℕ, ∀ ϵ > 0, ∃ 𝑁 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ | (-1)^n - 𝑎 | ≤ ϵ )
⇔ ∀ 𝑁 ∈ ℕ, ∃ ϵ > 0, ∃ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑁 ∧ | (-1)^n - 𝑎 | > ϵ
⇔ ∀ 𝑁 ∈ ℕ, ∃ ϵ > 0, ∃ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑡 ∧ | (-1)^n - 𝑎 | > ϵ
⇔ ∀ 𝑁 ∈ ℕ, ∃ ϵ > 0, ∃ 𝑛 ∈ ℕ, | (-1)^n - 𝑎 | > ϵ     ( ∵ ∃𝑓 : ℕ ↦ ℕ )
⇔ ∀ 𝑁 ∈ ℕ, ∃ ϵ > 0, | (-1)^𝑓(𝑁) - 𝑎 | > ϵ
Take 𝑓( 𝑁 ) = 2𝑁, then ∃ ϵ > 0, | 1 - 𝑎 | > ϵ
Take 𝑓( 𝑁 ) = 2𝑁-1, then ∃ ϵ > 0, | -1 - 𝑎 | > ϵ
∴ ∃ ϵ( < 1 ) > 0,  | 1 - 𝑎 | + | -1 - 𝑎 | > 2 > 2ϵ
■

 

𝑙𝑖𝑚 의 성질

 실수열 〈 𝑥_𝑛 〉 와 〈 𝑦_𝑛 〉 이 각각 𝑥, 𝑦 로 수렴할 때, 다음이 성립한다.

1. 𝑙𝑖𝑚 (𝑥_𝑛 + 𝑦_𝑛 ) = 𝑥 + 𝑦
2. ∀𝑎 ∈ ℝ, 𝑙𝑖𝑚 ( 𝑎𝑥_𝑛 ) = 𝑎𝑥
3. 𝑙𝑖𝑚 ( 𝑥_𝑛 𝑦_𝑛 ) = 𝑥𝑦
4. 𝑦 ≠ 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑥_𝑛 / 𝑦_𝑛 = 𝑥 / 𝑦
5. ∀𝑛 ∈ ℕ,  𝑥_𝑛 ≤ 𝑦_𝑛 ⇒ 𝑥 ≤ 𝑦

증명하자.

𝑝𝑓) we know that 𝑙𝑖𝑚 𝑥_𝑛 = 𝑥, 𝑙𝑖𝑚 𝑦_𝑛 = 𝑦
∴ ∀ 𝑛 ∈ ℕ, ∀ ϵ > 0, (∃ 𝑁1, 𝑁2 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑁1, 𝑁2 ⇒ | 𝑥_𝑛 - 𝑥 | ≤ ϵ/2 ∧ | 𝑦_𝑛 - 𝑦 | ≤ ϵ/2
⇒ ∀ 𝑛 ∈ ℕ, ∀ ϵ > 0, ∃ 𝑁(= 𝑚𝑎𝑥 { 𝑁1 ,𝑁2 }), 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ | 𝑥_𝑛 + 𝑦_𝑛 - 𝑥 - 𝑦 | ≤ | 𝑥_𝑛 - 𝑥 | + | 𝑦_𝑛 - 𝑦 | ≤ ϵ

𝑝𝑓) ∀ 𝑛 ∈ ℕ, ∀ ϵ < 0, ( ∃ 𝑁 ∈ ℕ 𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ | 𝑥_𝑛 - 𝑥 | ≤ ϵ/|𝑎| )
⇒ | 𝑎𝑥_𝑛 - 𝑎𝑥 | ≤ |𝑎| |𝑥_𝑛 - 𝑥| ≤ ϵ

𝑝𝑓) ∀𝑛 ∈ ℕ, ∀ϵ > 0,
∃𝑁1, 𝑁2 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑁1, 𝑛 ≥ 𝑁2 ⇒ | 𝑥_𝑛 - 𝑥 | ≤ ϵ ∧ | 𝑦_𝑛 - 𝑦 | ≤ ϵ
Take 𝑁 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑁1,  𝑁2 }, a∈ℕ 𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 | 𝑥_𝑛 | < a
That's when | 𝑥_𝑛 - 𝑥 | ≤ ϵ/2|𝑦| ∧ | 𝑦_𝑛 - 𝑦 | ≤ ϵ/2a

𝑒𝑛𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡𝑜 𝑠ℎ𝑜𝑤 | 𝑥_𝑛 𝑦_𝑛 - 𝑥 𝑦 | ≤ ϵ
| 𝑥_𝑛 𝑦_𝑛 - 𝑥 𝑦 |
= | 𝑥_𝑛(𝑦_𝑛 - 𝑦) + 𝑦(𝑥_𝑛 - 𝑥) |
≤ | 𝑥_𝑛 | | 𝑦_𝑛 - 𝑦 | + | 𝑦 | | 𝑥_𝑛 - 𝑥 |
< ϵ
∴ 𝑙𝑖𝑚 ( 𝑥_𝑛 𝑦_𝑛 ) = 𝑥𝑦
■

𝑦 ≠ 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑥_𝑛 / 𝑦_𝑛 = 𝑥 / 𝑦
𝑝𝑓) 증명하기 전에 다음을 먼저 보이자.
( ∀ ϵ > 0, ∃ 𝑁 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ 𝑦_𝑛 ≠ 0
|𝑦 - 𝑦_𝑛| ≤ |𝑦|/2 인 적당한 𝑁1 을 잡고,
|𝑦|/2 = |𝑦| - |𝑦|/2 < |𝑦| - |𝑦_𝑛 - 𝑦| ≤ |𝑦_𝑛|
이므로, 적당한 𝑁1보다 큰 자연수 n에 대해 𝑦_𝑛은 0이 아니다.)
이제 다시 돌아와서 문제를 보자.

𝑒𝑛𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡𝑜 𝑠ℎ𝑜𝑤
∀ ϵ > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, n ≥ 𝑁 ⇒ | 𝑥_𝑛 / 𝑦_𝑛 - 𝑥 / 𝑦 | ≤ ϵ
| 𝑥_𝑛 / 𝑦_𝑛 | ∈ ℝ, ∃𝑘 ∈ ℕ, | 𝑥_𝑛 / 𝑦_𝑛 | < 𝑘 (≠ 0)
∃𝑁1, 𝑁2 ∈ ℕ, ∀ϵ > 0, 𝑛 ≥ 𝑚𝑎𝑥 { 𝑁1, 𝑁2 }
⇒ ( |𝑥_𝑛 - 𝑥| < ( |𝑦|ϵ )/2 ) ∧ ( |𝑦_𝑛  - 𝑦| < ( |𝑦|ϵ )/( 2𝑘 ) )

∴ Take 𝑁 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑁1, 𝑁2 }, 𝑛 ≥ 𝑁
⇒ | 𝑥_𝑛 / 𝑦_𝑛 - 𝑥 / 𝑦 |
= | (𝑥_𝑛 𝑦 - 𝑥 𝑦_𝑛) / 𝑦𝑦_𝑛 |
= | ( -𝑥_𝑛(𝑦_𝑛 - 𝑦) + 𝑦_𝑛 ( 𝑥_𝑛 - 𝑥 ) ) / 𝑦𝑦_𝑛 |
≤ | 𝑥_𝑛 | | 𝑦_𝑛 - 𝑦 | / | 𝑦𝑦_𝑛 | + | 𝑥_𝑛 - 𝑥 | / | 𝑦 |
< ϵ
■ 

𝑝𝑓) 𝑦_𝑛 - 𝑥_𝑛 = 𝑎_𝑛 이라고 놓고 ∀𝑛 ∈ ℕ, 0 ≤ 𝑎_𝑛 ⇒ 0 ≤ a
임을 보이면 된다. mathematical induction을 사용한다면 trivial.

 

1.4 단조 수열

단조 수열

 실수열 〈 𝑥_𝑛 〉에서 ∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑥_𝑛 ≤ 𝑥_(𝑛+1) 이면 이를 단조증가수열이라고 한다. 그 반대는 단조감소수열이다.

유계인 단조 실수열은 항상 수렴함을 보여라. - 이를 단조 수렴 정리라고 한다.
𝑝𝑓) 유계이고 단조수열 〈 𝑥_𝑛 〉 를 먼저 생각하자.
〈 𝑥_𝑛 〉 가 단조증가수열 일때, 
Completeness Axiom에 의해 𝑠𝑢𝑝 〈 𝑥_𝑛 〉 = α 가 존재한다. 이제, 𝑙𝑖𝑚 〈 𝑥_𝑛 〉 = α 임을 보이자.
α - ϵ 은 상계가 아니므로 어떤 자연수 k에 대해 α - ϵ < 𝑥_k 인 k가 존재한다. 이때,
𝑛 ≥ 𝑘 ⇒ α - ϵ < 𝑥_𝑘 ≤ 𝑥_𝑛 < α + ϵ 가 된다. 따라서
∀ ϵ > 0, ∃𝑘 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑘 ⇒ |𝑥_𝑛 - α| < ϵ 이다.

〈 𝑥_𝑛 〉 이 단조감소수열 일때는 부등호만 살짝 바꿔주면 되는데
Completeness Axiom에 의해 𝑖𝑛𝑓 〈 𝑥_𝑛 〉 = β 가 존재하고, ∀ϵ > 0에 대해 β + ϵ 은 〈 𝑥_𝑛 〉 의 하계가 아님을 안다.
따라서, 적당한 자연수 𝑘 에 대해 𝑥_𝑘 < β + ϵ 을 만족하는 𝑥_𝑘가 수열에 존재한다. 단조감소수열의 정의에 의해
𝑛 ≥ 𝑘 ⇒ ϵ - β < 𝑥_𝑛 ≤ 𝑥_𝑘 < β + ϵ 임을 알 수 있고, 이는
∀ ϵ > 0, ∃𝑘 ∈ 𝑁, 𝑛 ≥ 𝑘 ⇒ | 𝑥_𝑛 - β | < ϵ 이다.
■

 

부분합수열

실수열 〈𝑥_𝑛〉 에 대해 𝑠_𝑛 = 𝑥_1 + 𝑥_2 + ... + 𝑥_𝑛 이라 하면, 〈 𝑠_𝑛 〉을 〈 𝑥_𝑛 〉 의 부분합수열이라고 한다. 

부분합수열이 유계인 양수항 급수는 수렴한다.
𝑝𝑓) 양수항 수열의 부분합수열은 증가수열이다.
따라서 증가수열이 유계라면, supremum이 존재하고, supremum이 해당 수열의 극한값이 된다.
즉, 𝑙𝑖𝑚 𝑠_𝑛 = 𝑠𝑢𝑝 〈𝑠_𝑛〉이다. 부분합수열의 정의에 〈 𝑥_𝑛 〉의 급수는 𝑠𝑢𝑝 〈 𝑠_𝑛 〉로 수렴한다.

급수 〈 1/𝑛^2 〉 이 수렴함을 보여라.
𝑝𝑓) 부분합수열은 항상 0보다 크므로 아래로 유계이다.
1 + 1/2*2 + ... 〈 1 + 1/1*2 + 1/2*3 + ... ≈ 1 + 1
이므로 부분합수열은 항상 2보다 작으므로 위로 유계이다.
따라서 부분합수열은 완비성 공리에 의해 유계이고 양수항 수열이므로 수렴한다.

급수 〈 1/𝑛! 〉 이 수렴함을 보여라.
𝑝𝑓) 마찬가지로 0보다 크고,
1/1 + 1/2 + 1/6 + ... 〈 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2
이므로 부분합수열은 2보다 작다.
따라서 부분합수열이 유계이고 양수항 수열이므로 수렴한다.

다음 수열이 단조수열인지 살피고, 수렴 판정을 하여라.
1. 〈 √ (𝑛^2 + 𝑛) - 𝑛 〉
𝑝𝑓) 위 수열을 다시 써보면 다음과 같다.
1/(√((1+1/n)+1) = 𝑎_𝑛 
그러면 𝑎_(𝑛+1) / 𝑎_𝑛 < 1 임은 분명하다.
또한, √(𝑛^2 + 𝑛) - 𝑛 = 1/(√((1+1/n)+1) < 1/2
이므로 상계가 존재한다. 따라서 수렴한다.

2. 〈 ∑(1/𝑘) / (𝑛+1) 〉
𝑝𝑓) 분자를 𝑘_𝑛 이라고 두자.
비판정법을 이용해서
𝑎_(𝑛+1) / 𝑎_𝑛 = ( 𝑛 + 1 + 1/𝑘_𝑛 ) / (n+2) < 1
따라서, 감소 수열이며, 0의 하계를 가지므로 수렴한다.

3. 𝑎_(𝑛+1) = √ ( 2 𝑎_𝑛 )
𝑝𝑓) 실수체만 다루기 때문에 초항이 음수일리 없다. 모든 항이 항상 양수 또는 0이 될 수 있다.
점화식에 따라 𝑎_(𝑛+1) ^ 2 - 2 𝑎_𝑛 = 0이다.
𝑥^2 - 2𝑥 = 0을 생각하자. 𝑥 = 0, 2 일때 모든 항들은 항상 0, 2 임을 알 수 있다.
따라서 초항이 0이거나 2이면 모든 항이 0 또는 2이다.
비판정법을 쓴다면, 𝑎_(𝑛+1) / 𝑎_𝑛 = √(2) / √𝑎_𝑛 이므로, 임의의 자연수 𝑛에 대해
𝑎_𝑛 이 2보다 작다면 항상 증가하고, 2보다 클때는 항상 감소함을 알 수 있다.
또한,
∀𝑘 ∈ ℕ, 𝑎_𝑘 < 2 ⇒ 𝑎_(𝑘+1) < 2
∀𝑘 ∈ ℕ, 𝑎_𝑘 > 2 ⇒ 𝑎_(𝑘+1) > 2
이다. 따라서 초항 𝑎_1 에 따라 위로 유계, 아래로 유계가 다름을 알 수 있고, 
𝑎_1 ∈ (0, 2), 〈 𝑎_𝑛 〉 은 위로 유계이고, 증가 수열이다.
𝑎_1 ∈ (2, ∞), 〈 𝑎_𝑛 〉 은 아래로 유계이고, 감소 수열이다.
𝑎_1 = 0일 때, 0만 반복되는 수열이다. 𝑎_𝑛 = 2 일 때, 2만 반복되는 수열이다.

4. 𝑎_(𝑛+1) = √ ( 2 + √ ( 𝑎_𝑛 ) )
𝑝𝑓) ∀𝑘 ∈ ℕ, 𝑎_(𝑘+1) / 𝑎_𝑘 < 1 ⇒ 𝑎_(𝑘+2) / a_(𝑘+1) < 1 임을 보이자.
𝑎_(𝑘+1) / 𝑎_𝑘 = 𝑎_(𝑘+1)/( 𝑎_(𝑘+1)^2 - 2 )^2 < 1
⇒ √(𝑎_(𝑘+1)) / (𝑎_(𝑘+1)^2 - 2) < 1
⇒ (√(𝑎_(𝑘+1)) + 2) / 𝑎_(𝑘+1)^2 < (1+2)/(1+2)
⇒ √(2+√(𝑎_(𝑘+1))) / 𝑎_(𝑘+1) = 𝑎_(𝑘+2) / a_(𝑘+1) < 1
𝑤𝑖𝑡ℎ𝑜𝑢𝑡 𝑙𝑜𝑠𝑠 𝑜𝑓 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦, 부등호의 반대도 동일하다.
감소할 때는 0을 하계로 잡으면 된다. 반대의 경우를 보자.
증가할 경우는 𝑥^4 -4𝑥^2 -𝑥 +4 가 √(2)보다 큰 경우에서 양수가 되는 구간이므로
사잇값 정리에 의해 (√(2), 2)에 근 a가 존재하여 (a, ∞)에서 양수가 된다.
또한, 미분 후 a보다 큰 곳에서 양수이므로 항상 증가한다. 즉, 𝑎_𝑛-𝑎_(𝑛+1)이 양수인 구간이므로
(a, ∞)에서 감소하게 된다. 이제 (a, ∞)에서 상계 a_1을 잡으면 된다.
따라서 [0, a)에서 증가하며, 하계를 0으로 잡고, (a, ∞)에서 감고하여, 상계를 𝑎_1 로 잡는다면
단조 수렴 정리에 의해 수렴한다.
■

5. 𝑎_(𝑛+1) = 1 - √ ( 1 - 𝑎_𝑛 )
𝑝𝑓) 1-𝑎_𝑛 = 𝑏_𝑛 으로 잡고, 𝑏_𝑛 의 수렴성을 조사하자.
𝑏_𝑛 을 생각한다면 모든 자연수 n에 대해 𝑏_𝑛 이
(0, 1)이라면 항상 증가하며, 항상 1보다 작고,
(1, ∞)이라면 항상 감소하며, 항상 0보다 큼을 알 수 있다.
따라서 𝑏_𝑛이 수렴하고, 1-𝑎_𝑛 에 대해서는 (-∞, 0)에서 항상 증가하며, 항상 1보다 작음을 알 수 있고,
(0, 1)에서 항상 감소하며, 항상 0보다 큼을 알 수 있다.
수렴한다.
■

6. 𝑎_(𝑛+1) = ((𝑎_𝑛)^3 + 6) / 7
𝑝𝑓) 𝑎_(𝑛+1) - 𝑎_𝑛 을 생각하고, 두 항이 같은 경우를 보자.
경계를 생각하는 것은 𝑥^3 - 7𝑥 + 6 = 0 의 그래프 개형을 생각하는 것과 같으므로,
(x+3)(x-1)(x-2) = 0 으로 인수분해 됨을 알 수 있다. 
따라서 𝑎_𝑛 에 따라
(-∞, -3) ⇒ 𝑎_𝑛 > 𝑎_(𝑛+1)
(-3, 1) ⇒ 𝑎_𝑛 < 𝑎_(𝑛+1)
(1, 2) ⇒ 𝑎_𝑛 > 𝑎_(𝑛+1)
(2, ∞) ⇒ 𝑎_𝑛 < 𝑎_(𝑛+1)
임을 알 수 있다.
이제 각각에 대한 상계 하계 들을 구하자...

상극한과 하극한

급수의 수렴 여부를 판별하기 위해 상극한과 하극한을 정의하자. 위로 유계인 실수열 〈 𝑥_𝑛 〉이 있을 때, 자연수 𝑛에 대하여

𝑦_𝑛 = 𝑠𝑢𝑝 { 𝑥_𝑘 : k = 𝑛, 𝑛+1, 𝑛+2, ... }라 두자. 이때, 집합 { 𝑦_𝑛 | 𝑛 = 1, 2, 3, ... }의 하한을 수열 〈 𝑥_𝑛 〉 의 상극한이라 하고,

𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢𝑝 𝑥_𝑛 또는

로 쓴다. 만약 집합 𝑦_𝑛 이 아래로 유계가 아니면 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢𝑝 𝑥_𝑛  = -∞, 위로 유계가 아니면 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢𝑝 𝑥_𝑛 = ∞라고 한다.

유계실수열 〈 𝑥_𝑛 〉 의 상극한이 α ∈ 𝑅 일때 다음을 만족한다.

1. ∀ϵ > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ 𝑥_𝑛 < α + ϵ
2. ∀ϵ > 0, α - ϵ < 𝑥_𝑛 인 자연수 𝑛 이 무한히 많이 존재한다.
3. 역으로, 위 두 성질을 만족하면 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢𝑝 𝑥_𝑛 = α 이다.

유계실수열 〈 𝑥_𝑛 〉 의 하극한이 α ∈ 𝑅 일때 다음을 만족한다.

1. ∀ϵ > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ α - ϵ < 𝑥_𝑛
2. ∀ϵ > 0, 𝑥_𝑛 < α + ϵ 인 자연수 𝑛 이 무한히 많이 존재한다.
3. 역으로, 위 두 성질을 만족하면 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓 𝑥_𝑛 = α 이다.

상극한과 하극한의 1, 2를 합친게 엡-델 논법의 일부일 뿐이다.

 

실수열 〈 𝑥_𝑛 〉 이 (α ∈ ℝ로 수렴) ⇔  (상극한과 하극한은 모두 α) 임을 보여라.
𝑝𝑓) ∀ϵ > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ | 𝑥_𝑛 - α | < ϵ
⇔ ϵ - α < 𝑥_𝑛 ∧ 𝑥_𝑛 < ϵ + α
상극한과 하극한의 정의에 의해 α 가 상극한, 하극한이 된다.

다음 수열 〈 𝑎_𝑛 〉 의 상극한과 하극한을 구하여라.
1. 𝑎_𝑛 = √( 𝑛^2 + 𝑛 ) - 𝑛
𝑝𝑓) 

2. 𝑎_𝑛 =((-1)^𝑛) / n
𝑝𝑓) 

3. 𝑎_𝑛 = 𝑠𝑖𝑛(𝑛)
𝑝𝑓) 

4. 𝑎_𝑛 = (-1)^𝑛 * 𝑛
𝑝𝑓) 

5. 𝑎_𝑛 = (-1)^𝑛 * √(𝑛)
𝑝𝑓) 

6. 𝑎_𝑛 = 𝑠𝑖𝑛(𝑛π/2) 𝑐𝑜𝑠((𝑛+1)π/2)
𝑝𝑓) 

7. 𝑎_𝑛 = (1+1/n) 𝑐𝑜𝑠(𝑛π)
𝑝𝑓) 

8. 𝑎_𝑛 = (-1)^n (n/(1+n)^n)
𝑝𝑓) 

𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢𝑝 (-𝑎_𝑛) = - 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓 𝑎_𝑛 을 증명해라.
𝑝𝑓) 

𝑛 ∈ ℕ 에 대해 𝑎_𝑛 > 0 일때, 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢𝑝 1/𝑎_𝑛 = 1/ 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢𝑝 𝑎_𝑛 을 증명해라.
𝑝𝑓) 

위 문제에서 𝑎_𝑛 < 0 일 때는 어떻게 되는가?
𝑝𝑓) 

 

축소구간정리

 

 

축소구간정리로부터 완비성공리를 증명하여라.
𝑝𝑓) 

 

 

1.5 셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합

 집합 ℕ 과 1:1 대응관계가 있는 집합을 셀 수 있는 집합이라고 한다. 즉 bijection이 존재한다 뜻이다. 그렇지 않으면 셀 수 없는 집합이라 한다.

 

정수 전체 집합 ℤ와 유리수 전체 집합 ℚ는 셀 수 있는 집합임을 보이자.
𝑝𝑓) 

구간 [0, 1]은 셀 수 없는 집합임을 보여라.
𝑝𝑓) 

 

칸토르 집합

 구간 𝐼 = [0, 1]의 부분집합 을 삼등분 하여 가운데들을 전부 빼내고, 양 끝의 구간의 합집합을 𝐼_1이라 하자. 이 수행을 𝑛번 계속 반복하면, 부분집합이 2^𝑛 개 생성되고, 𝐼_𝑛 은 2^𝑛개의 크기가 같은 부분집합들의 합집합이 된다.

 이제 수열 〈 𝐼_𝑛 〉 을 생각하여, ∩ 𝐼_𝑛 을 칸토르 집합 𝐶 이라고 한다. 이는 소수점 자리들을 삼진법 형태로 나타냈을때 𝐶 ↦ [0, 1]의 bijection을 보이는 것이다. 따라서 해당 생각 또한 셀 수 없는 집합을 나타냄을 보인 것이다.

집합 ℕ에서 {0, 1}로 가는 함수 전체의 집합과 칸토르 집합 사이의 전단사 함수가 있음을 보여라.


칸토르 집합 안에는 어떤 구간도 포함될 수 없음을 보여라.

 

문제 수가 너무 많아 추후에 올리겠습니다.